logo3.gif (702 bytes)

arrow7.gif (1098 bytes)


ක්‌වොන්ටාවේ කතාව 22
ගසාගෙන යන යථාර්ථයට එල්ලෙන්න තරංගයක්‌

"මේ තරංගය කුමක්‌ ද? ජල තරංගයේ ජල අංශු ඉහළ පහළ කම්පනය වේ. විද්යුත් චුම්බක තරංගයේ විද්යුත් හා චුම්බක ෙත්‍ර කම්පනය වේ. තන්තුවක තරංගයක්‌ ඇති වන විට එම තන්තුවේ අංශු කම්පනය වේ. එසේ නම් ෙෂ්‍රාaඩිංගර් ගේ තරංගයේ කම්පනය වන්නේ කුමක්‌ ද? කිsසිවෙක්‌ නො දනිති ෘ

හයිසන්බර්ග්, බෝන්, සහ ඩිරැක්‌ ගේ ක්‌වොන්ටම්වාදය මගින් නිරීක්‌ෂණ නිවැරැදිව ම පැහැදිලි කළත් ඒවා හුදු අසන්තතික සංඛ්‍යා රටා පමණි. නිරීක්‌ෂිත මිනුම් අතර සම්බන්ධතා සලකා නිර්මාණය කළ ගණිතමය වශයෙන් සංගත සිද්ධාන්තය වෙනත් නිරීක්‌ෂණත් පැහැදිලි කරයි. ඉලෙක්‌ට්‍රොaනවලට, ඒවායේ කක්‌ෂවලට, ඒ අතර පැනීමට සම්භාව්‍ය භෞතිකයෙන් රූපික අනුරූපතා නැත.

මෙහි දී කිසිවක්‌ ගැන චිත්‍ර මවාගත හැකි නො වේ. උදා( ඉලෙක්‌ට්‍රොaනය යනු අංශුවක්‌ වත්, තරංගයක්‌ වත් නො වේ. හයිසන්බර්ග් හෝ

ඩිරැක්‌ ගේ ක්‌වොන්ටම් සිද්ධාන්තයෙහි ඉලෙක්‌ට්‍රොaනයේ පිහිටීම හා ගම්‍යතාව නම් ගුණ අප සාමාන්‍ය ලෝකයේ අංශුවක අත්දකින සන්තතික වූ පිහිටීම සහ ගම්‍යතාව නො වේ. යම් නිරීක්‌ෂණ හෙවත් අත්දැකීම් විස්‌තර කිරීමට නිර්මාණය කළ හුදු අසන්තතික අගයන් ගොඩක්‌ (න්‍යාස) පමණි. අප ගේ සංකල්පවල ඇති සන්දර්භයට දක්‌වන සාපේක්‌ෂභාවය ඉන් පෙනේ. ඒවායේ සියල්ල විනිවිදින නිරපේක්‌ෂ යථාර්ථයක්‌ නැත. එහෙත් අයින්ස්‌ටයින් මෙන් නිරපේක්‌ෂ යථාර්ථයේ එල්ලී සිටින බොහෝ දෙනාට මෙය නම් හිසරදයක්‌ විය. මින් ගැලවෙන මගක්‌ සෙවීමට ඔවුහු ඉටාගත් හ.

සමීකරණ හරඹයෙන් උපන් ඩි බ්‍රොග්ලි ගේ තරංගය ඔබට මතක ඇති. එහෙත් අයින්ස්‌ටයින් මෙය හුදු සමීකරණ හරඹයක්‌ ම නො වන බව විශ්වාස කළේ ය. ඔහුට අනුව සමීකරණ මගින් යථාර්ථය නිරූපණය කරයි. එබැවින් ඩි බ්‍රොග්ලි තරංගය යථාර්ථයක්‌ නිරූපණය කරයි. අංශුවලට තරංගමය ස්‌වභාවයක්‌ ඇත යන්න යථාර්ථයකි. ඩි බ්‍රොග්ලි තරංගය ගැන අයින්ස්‌ටයින් ගේ අදහස තදින් සිතට ගත් පුද්ගලයකු වූයේ අර්වින් ෙෂ්‍රාaඩිංගර් ය (Erwin Schrodinger).

1887 වසරේ ඔස්‌ටි්‍රයාවේ වියානාහි උපන් ෙෂ්‍රාaඩිංගර් මූලික අධ්‍යාපනය ලැබුවේ සිය නිවෙසේ දී පෞද්ගලික ගුරුවරුන් මගිනි. ගණිතයට, භෞතික විද්‍යාවට ඔහු උපන් දක්‌ෂයෙක්‌ විය. හෙතෙම කලාවට ද ඇලුම් කළේ ය. භාෂා කිහිපයක්‌ ම හැසිරවීමේ දක්‌ෂයකු මෙන් ම ඔහු අසාමාන්‍ය ලෙස ශෘංගාරයට බර වූ පුද්ගලයකු ලෙස ද ප්‍රසිද්ධ ය. පළමුවැනි ලෝක යුද සමයේ ඉතාලියේ දී කාලතුවක්‌කු ඒකකයේ නිලධාරියකු ලෙස සේවය කරද්දී ඔහු ගේ තනිකම මැකුවේ දර්ශනය හා භෞතික විද්‍යා පොතපත ය. 1925 වන විට 38 හැවිරිදි ෙෂ්‍රාaඩිංගර් පරමාණුව ගැන උනන්දු වන්නට විය. ඩි බ්‍රොග්ලි ගේ තරංගයත් ඒ පිළිබඳ අයින්ස්‌ටයින් ගේ මතයත් ඔහු ගේ නෙත ගැටෙන්නේ එවිට ය.



සාම්ප්‍රදායික දැක්‌මෙන් මිදුණු තරුණ හයිසන්බර්ග් හෝ ඩිරැක්‌ මෙන් නො ව මේ 38 හැවිරිදි ෙෂ්‍රාaඩිංගර්ට අවශ්‍ය වූයේ ක්‌වොන්ටම් ලෝකය නැවතත් සාමාන්‍ය ලෝකයේ අප අත්දකින සංකල්පවලින් විස්‌තර කිරීමට ය. නියතිවාදයට අභියෝගයක්‌ වූ ක්‌ෂණික ඉලෙක්‌ට්‍රොaන පැනීමත් ඒ පැනුමේ සම්භාවිතාවත් අයිනස්‌ස්‌ටයින් මෙන් ම ෙෂ්‍රාaඩිංගර් ද පිළිගැනීමට මැළි විය. "නිරපේක්‌ෂ යථාර්ථය සාමාන්‍ය ලෝකයත් ක්‌වොන්ටම් ලෝකයත් විනිවිද යා යුතුයි" යනු ෙෂ්‍රාaඩිංගර් ගේ ඇදහීම විය. 'බොර් ගේ මේ ස්‌ථාවර අවස්‌ථාව කුමක්‌ ද? එහි පවතින ඉලෙක්‌ට්‍රොaන විකිරණ පිට නො කරන්නේ ඇයි? ඉලෙක්‌ට්‍රොaන එක ශක්‌ති මට්‌ටමකින් අනෙකට පනින්නේ කෙසේ ද? ඒ චලිතය විස්‌තර කරන්නේ මොන නියමවලට අනුව ද? මෙය සම්පූර්ණයෙන් ම මනස්‌ගාතයක්‌' ෙෂ්‍රාaඩිංගර් කීවේ ය.

තරංගයක්‌ යනු යම් කම්පනයක්‌ ප්‍රචාරණය වීම ය. එවන් තරංගයක්‌ විස්‌තර කිරීම සඳහා තරංග සමීකරණයක්‌ (Wave Equation) ලිවිය හැකි ය. ඉන් තරංගයේ කම්පනයත් එය ප්‍රචාරණය වන වේගය වැනි ගුණ අතර සම්බන්ධතාව නිරූපණය කරයි. ජල තරංගයක නම් ජල අංශු (ජල තලය) ඉහළ පහළ කම්පනය වන වේගයත් ඉන් තිරස්‌ අතට සිදු වන තරංගය ගමන් කරන වේගයත් අතර ගණිතමය සම්බන්ධය එම සමීකරණයයි. එනම්( යම් නිශ්චිත කාලයකට පසු තරංගයේ හැසිරීම සමීකරණය විසඳා පුරෝකථනය කළ හැකි ය. තවත් ලෙසකින් කියන්නේ නම් තරංගයේ අවකාශ කාල සබඳතාව ඒ සමීකරණයයි.

එසේ නම් ඩි බ්‍රොග්ලි ගේ ඉලෙක්‌ට්‍රොaන තරංගය (පොදුවේ පදාර්ථ තරංගය) සාම්ප්‍රදායික ආකාරයේ තරංග සමීකරණයකින් නිරූපණය කරන්නේ කෙසේ ද? ෙෂ්‍රාaඩිංගර් උත්සාහ කළේ ඒ සඳහා ය. 1925 වසරේ නත්තල් සමයේ ඔහු ගේ පවුල් දිවිය ගැටුම්වලින් පිරි තිබිණි. ඉන් නිදහස්‌ වීමට සිය බිරිඳ ගෙන් ගැලවුණු ඔහු සිය පැරැණි පෙම්වතියක සමඟ ඔස්‌ටි්‍රයාවේ ඇල්පයින් නිවාඩු නිකේතනයට ගියේ ය. එහි දී ඔහුට "ඉලෙක්‌ට්‍රොaන තරංගය" සඳහා තරංග සමීකරණයක්‌ ගොඩනැගීමට හැකි විය (රූපය 1).

එහෙත් මේ ඩි ෙෂ්‍රාaඩිංගර් ගේ තරංගය ජල තරංගයක්‌ වැනි දෙයක්‌ නො වේ. එය හුදෙක්‌ ම සමීකරණ හරඹයෙන් එන්නකි. මෙහි දී ඉලෙක්‌ට්‍රොaනය පරමාණුව වටා විසිරී ගිය තරංගයක්‌ යෑයි කියවේ. මේ තරංගයේ කම්පනය වන්නේ කුමක්‌ ද? ෙෂ්‍රාaඩිංගර් කළේ ඩි බ්‍රොග්ලි ගේ අදහස සම්භාව්‍ය තරංග සමීකරණයට ගැළපීම ය. එහි යමක්‌ කම්පනය වේ. ඉන් ගොඩනැෙගන තරංගය තමා ඉලෙක්‌ට්‍රොaනය. අනෙක්‌ අතට ඩි බ්‍රොග්ලි ගේ තරංගයේ අදහස වූයේ ඉලෙක්‌ට්‍රොaනය අංශුවක්‌ බවත් එය යම් තරංගමය පථයක න්‍යෂ්ටිය වටා ගමන් කරන බවත් ය. එහෙත් ෙෂ්‍රාaඩිංගර්ට අනුව හුදෙක්‌ ම ඉලෙක්‌ට්‍රොaනය යනු තරංගයකි. ඒ තරංගය අංශුවක ගමන් පථය නො වේ. ඩි බ්‍රොග්ලි ගේ ඒකමාන තරංගය මෙන් නො ව ෙෂ්‍රාaඩිංගර් ගේ තරංගය ත්‍රිමාන අවකාශයේ න්‍යෂ්ටිය වටා එතී ඇත. කෙසේ වෙතත් මේ සමීකරණයෙන් එම තරංගයට අනුරූප ස්‌කන්ධයේ (ඉලෙක්‌ට්‍රොaනය) ශක්‌තිය ගණනය කළ හැකි ය. ඒ ස්‌කන්ධය හා ශක්‌තිය තරංග ශ්‍රිතයෙන් දෙන ආකාරයට අවකාශයේ හා කාලයේ විසිරී ඇත.
ෙෂ්‍රාaඩිංගර් තම තරංග සමීකරණයෙන් හයිඩ්‍රජන් පරමාණුවේ ශක්‌ති මට්‌ටම්වල අගයන් ගණනය කළේ ය. ඒවා බෝර් ගේ ශක්‌ති අගයන්වලට හරියට ම ගැළපුණේ ය. බෝර් ඉලෙක්‌ට්‍රොaනය අංශුවක්‌ ලෙස ගෙන ගණනය කළ ශක්‌ති අගයන් ම දැන් ෙෂ්‍රාaඩිංගර් ඉලෙක්‌ට්‍රොaනය යනු න්‍යෂ්ටිය වටා ත්‍රිමාන ව පැතිරි ගිය තරංගයක්‌ ලෙස සලකා ලබාගෙන ඇත. බෝර් සහ සමර්Sල්ඩ් කළාක්‌ මෙන් පැලැස්‌තර දැන් අවශ්‍ය නැත. එමෙන් ම හිසරදයක්‌ ව පැවැති හයිසන්බර්ග් ගේ ක්‌ෂණික ක්‌වොන්ටම් පැනීමට ද ෙෂ්‍රාaඩිංගර්ට දැන් උත්තරයක්‌ ඇත. ඔහු කියන්නේ ඉලෙක්‌ට්‍රොaනය යනු තරංගයක්‌ බැවින් වෙනස්‌ ශක්‌ති මට්‌ටමකට පැනීම යනු වයලිනයේ තන්තුවක තනුව වෙනස්‌ වීම වැන්නක්‌ බව ය. තව ද හයිසන්බර්ග් ගේ හෝ ඩිරැක්‌ ගේ පූර්ණ ලෙස වියුක්‌ත අසන්තතික්‌ සංඛ්‍යාවලින් නිරූපිත ක්‌වොන්ටම්වාදය මෙන් නො ව ෙෂ්‍රාaඩිංගර් ගේ මේ "ඉලෙක්‌ට්‍රොaන තරංගයට" රූපයක්‌ හිතේ මවාගත හැකි ය. එහි අවකාශය හා කාලය සන්තතික ය. සියල්ලෝ ම ෙෂ්‍රාaඩිංගර් ගැලවුම්කාරයකු ලෙස සිතුවෝ ය. 1926 මාර්තු මස ෙෂ්‍රාaඩිංගර් ගේ සිද්ධාන්තය ප්‍රකාශයට පත් කෙරිණි. තරංග යාන්ත්‍රිකය (Wave Mechanics) ලෙස එය ප්‍රචලිත විය.

"කිසි ම ලෙසකින් චිත්‍රයක්‌ මවාගත නොහැකි ඉතා අපහසු හයිසන්බර්ග් ගේ සිද්ධාන්තය මට පිළිගත නොහැකියි" ෙෂ්‍රාaඩිංගර් කීවේ ය. එහෙත් හයිසන්බර්ග් ගේ දැක්‌ම මුල සිට ම ඉදිරියෙන් විය. "ෙෂ්‍රාaඩිංගර් ගේ අංශු තරංගයේ යම් භෞතික නිරූපණයක්‌ ඇතැයි අසන විට එහි විශ්වාසවන්තභාවය නැති වේ. ඇත්තෙන් ම ෙෂ්‍රාaඩිංගර් කියන ආකාරයේ චිත්‍රයක්‌ මේ අංශු තරංගයේ නැත. "කෙසේ නමුත් තරංගවාදය බොහෝ දෙනා ඉක්‌මනින් ම වැළඳගත් හ. දැන් නො දන්නා න්‍යාස ගණිතයක්‌ ගැන වද වීමට අවශ්‍ය නැත. කවුරුත් දන්නා තරංගය ඇත. අයින්ස්‌ටයින් මෙන් ම මැක්‌ස්‌ ප්ලාන්ක්‌ ද ඒ අතර වූ හ. "හයිසන්බර්ග් ගේ ක්‍රමය අප නොමග යවනවා" ෙෂ්‍රාaඩිංගර් ගේ නියතිවාදී තරංගයෙන් කුල්මත් වූ අයින්ස්‌ටයින් කීවේ ය. එහෙත් මේ තරංගය කුමක්‌ දැයි කිසිවෙක්‌ නො දනිති.

මෙසේ 1925 වසර අවසන් වන විට පරමාණු ලෝකයේ නිරීක්‌ෂණ ඉහළින් ම පැහැදිලි කළ හැකි, බැලූ බැල්මට කිසිදු සබඳතාවක්‌ නැති සිද්ධාන්ත දෙකක්‌ ම තිබිණි. ඒ හයිසන්බර්ග්ලා ගේ න්‍යාස යාන්ත්‍රිකයත්, ෙෂ්‍රාaඩිංගර් ගේ තරංග යාන්ත්‍රිකයත් ය. එහෙත් එය එසේ වන්නේ කෙසේ ද? හයිසන්බර්ග් ගේ සිද්ධාන්තයේ ඉලෙක්‌ට්‍රොaනවලට හෝ ඒවායේ පැනීමට හෝ ආකෘති නැත. එහි දී ඉලෙක්‌ට්‍රොaනවල අසන්තතික ව, සසම්භාවිව සිදු වන අවස්‌ථා (State) වෙනස්‌ වීමෙන් ක්‌වොන්ටම් පිට වේත වර්ණාවලී ලැබේ. පිහිටීම හා ගම්‍යතාව වැනි ගුණයන් අසන්තතික සංඛ්‍යා එකතුවක්‌ වූ න්‍යාසවලින් නිරුපනය වේ. අනෙක්‌ අතට ෙෂ්‍රාaඩිංගර් ගේ ඉලෙක්‌ට්‍රොaන තරංගය මගින් ලබා දෙන පිහිටීම, ගම්‍යතාව වැනි ගුණ සන්තතික වේ. ඉලෙක්‌ට්‍රොaන තරංගයේ ශක්‌ති වෙනස්‌ වීම ද සුමට ව සන්තතික ව සිදු වේ. ඉතින් මේ එකිනෙක පටහැනි කතා දෙකෙන් ම එක ම ප්‍රතිඵල ලැබෙන්නේ කෙසේ ද? යමක්‌ පැහැදිලි කරගැනීම සඳහා නිශ්චිත ක්‍රමවේදයක්‌ නැත. එක ම සන්දර්භය තුළ පවා වෙන වෙනස්‌ දැනුම්, ක්‍රමවේද තිබිය හැකි ය. එකක්‌ අනෙකට වඩා සත්‍ය නො වේ.

එහෙත් ෙෂ්‍රාaඩිංගර් ගේ තරංගය කුමක්‌ ද? ජල තරංගයේ ජල අංශු ඉහළ පහළ කම්පනය වේ. විද්යුත් චුම්බක තරංගයේ විද්යුත් හා චුම්බක ක්‌ෂේත්‍ර කම්පනය වේ. තන්තුවක තරංගයක්‌ ඇති වන විට එම තන්තුවේ අංශු කම්පනය වේ. එසේ නම් ෙෂ්‍රාaඩිංගර් ගේ තරංගයේ කම්පනය වන්නේ කුමක්‌ ද? න්‍යෂ්ටිය වටා පැතිර ගිය තරංගය ඉලෙක්‌ට්‍රොaනය නම් ඒ කුමක්‌ කම්පනය වීමෙන් ඇති වන්නක්‌ ද? ඔහු ගේ සමීකරණයේ මේ කම්පනය වන ක්‌ෂේත්‍රය විචල්‍යයක්‌ (ψ) මගින් නිරූපනය වේ. එහෙත් එහි භෞතික අර්ථය කුමක්‌ ද ?
ෙෂ්‍රාaඩිංගර් ගේ අදහස වූයේ මේ කම්පනය වන ක්‌ෂේත්‍රය නම් ඉලෙක්‌ට්‍රොaනයේ ආරෝපණය බවයි. එනම් ආරෝපණය කම්පනයක්‌ සහිත ව වලාවක්‌ මෙන් න්‍යෂ්ටිය වටා විසිරී ඇති බව ය. පොදුවේ ඉලෙක්‌ට්‍රොaනය යනු තරංගයක්‌ බවත් එහි දී බොහෝ තරංග එකිනෙක එකතු වීම (අධිස්‌ථාපනය) නිසා ඇති වන සමස්‌ත "තරංග පොදිය" (Wave Packet) අංශුවක්‌ ලෙස අප හඳුනගන්නා බවත් ඔහු කීවේ ය. ඉලෙක්‌ට්‍රොaනය තරංගයක්‌ මෙන් අවකාශයේ විසිර ඇත්නම් එය නිශ්චිත ලක්‌ෂ්‍යයක දී නිරීක්‌ෂණය වන්නේ කෙසේ ද? ඉලෙක්‌ට්‍රොaනයක්‌ පොස්‌පරස්‌ තිරයක ගැටුණ විට දිළිසුමක්‌ ඇති කරන්නේ නිශ්චිත තැනක ය. පරාසයක නො වේ. ෙෂ්‍රාaඩිංගර් ගේ ඉලෙක්‌ට්‍රොaන තරංගය ක්‌ෂණික ව ලක්‌ෂ්‍යයක්‌ බවට හැකිළෙනවා යෑයි සිතමු. දැන් ප්‍රශ්නය නම් මේ හැකිළීම ආලෝකයේ වේගයට වැඩි වේගයකින්, ක්‌ෂණික ව විය යුතු ය. එය සාපෙක්‌ෂතාවාදයට පටහැනි වේ. කොම්ප්ටන් ආචරණයට හෝ ප්‍රකාශ විද්යුත් ආචරණයට හෝ ඔහු ගේ ඉලෙක්‌ට්‍රොaන තරංගයෙන් පිළිතුරක්‌ නො වී ය.

තව ද හයිඩ්‍රජන් නො වන පරමාණු සඳහා-එනම්, ඉලෙක්‌ට්‍රොaන එකකට වැඩි විට-මේ ෙෂ්‍රාaඩිංගර් ගේ තරංගයේ කම්පනය මාන තුන ඉක්‌මවා යන හුදු ගණිතමය නිරූපනයක්‌ පමණක්‌ බවට පත් විය. මුලින් කී ලෙස එහි දැන් භෞතික චිත්‍රයක්‌ නැත. ඔහු ගේ ඉලෙක්‌ට්‍රොaන තරංගය භෞතික ව පවතින යථාර්ථයක්‌ යන ෙෂ්‍රාaඩිංගර් ගේ සිහිනය බොඳ වන්නට විය.

කෙසේ වෙතත් ෙෂ්‍රාaඩිංගර් තරංගවාදය අත්හැරීමට සූදානම් නැත. හයිසන්බර්ග් ගේ ක්‌වොන්ටම් පිම්මත්, සම්භාවිතාවත් ඔහුට වහකදුරු මෙන් විය. 1926 ඔක්‌තෝබරයේ බෝර් ගේ ආරාධනයක්‌ මත ෙෂ්‍රාaඩිංගර් කෝපන්හේගන්වලට ගියේ මේ ගැන තවදුරටත් සාකච්ඡා කිරීමට ය. බෝර් සිටියේ හයිස්‌නබර්ග් ගේ පැත්තේ ය. දෙදෙනා තම තමන් ගේ මතයන් වෙනුවෙන් දැඩි ලෙස පෙනී සිටියෝ ය. බෝර් එහි දී අවධාරණය කළේ අපට අත්දැකිය නොහැකි පරමාණුක ලෝකය ගැන චිත්‍ර මැවීම කිසි සේත් ම සිදු කළ නොහැකි බව ය.

මේ අතර පෝල් ඩිරැක්‌ න්‍යාස යාන්ත්‍රිකය හා තරංග යාන්ත්‍රිකය එක්‌ වියුක්‌ත ගණිත පද්ධතියකට ගත් අතර පැස්‌කල් ජෝර්ඩන් ද එවැනි ම උත්සාහයක්‌ ගත්තේ ය. ඩිරැක්‌ එහි දී ක්‌වොන්ටම් ලෝකයේ විචල්‍යයන් භ්‍රමණය වන දෛශිකයකින් නිරූපනය කළේ ය. (මේ පිළිබඳව "සියල්ල වෙනස්‌ ක්‌වොන්ටම් ලෝකයේ ගණිතයත් වෙනස්‌" පරිච්ඡෙදයේ අපි සාකච්ඡා කළෙමු). එහි දී ඔහු ඉලෙක්‌ට්‍රොaනයේ පිහිටීම හා ගම්‍යතාව වැනි ගුණයන් අපරිමිත මාන සහිත දෛශික අවකාශයක දෛශිකවලින් නිරූපනය කළේ ය. එහෙයින් පිහිටුම් දෛශික නිරූපනය කරන ශ්‍රිතය සන්තතික විය. එය ෙෂ්‍රාaඩිංගර් ගේ තරංග ශ්‍රිතය බව ඩිරැක්‌ සාධනය කළේ ය. ගම්‍යතාව ද එවැනි ම තරංග ශ්‍රිතයකින් දැක්‌විය හැකි ය. එනම් ඩිරැක්‌ ගේ ක්‍රමය මගින් හයිසන්බර්ග් ගේ න්‍යාස යාන්ත්‍රිකය මෙන් ම ෙෂ්‍රාaඩිංගර් ගේ තරංග ශ්‍රිතය ද ව්‍යqත්පන්න කළ හැකි ය. එහෙත් මේ තරංග-න්‍යාස එක්‌ කිරීම හුදු ගණිත හරඹයක්‌ විනා එහි කිසිදු භෞතික අරුතක්‌ නැත. ඩිරැක්‌ අර්ථකතන සඳහා උනන්දු නො වූ අතර ඔහුට අවශ්‍ය වූයේ ගණිතමය සබඳතා ගොඩනැගීම පමණි. එසේ නම්, මේ ෙෂ්‍රාaඩිංගර් ගේ තරංගයේ කම්පනය වන්නේ කුමක්‌ ද ?

ලබන සතියේ : 23 කොටස : දෙවියෝ දාදු කෙළියේ

සමිත ප්‍රසන්න හේවගේ