logo3.gif (702 bytes)

arrow7.gif (1098 bytes)


ක්‌වොන්ටාවේ කතාව 21
සියල්ල වෙනස්‌ ක්‌වොන්ටම් ලෝකයේ ගණිතයත් වෙනස්‌

"ළග දී ම ප්‍රකාශ කරන්න යන හයිසන්බර්ග් ගේ අලුත් ම පත්‍රිකාව මහ පුදුම සහගතයි. එහෙත් එයට අතිශය ගැඹුරුයි වගේ ම නිවැරැදියි" මැක්‌ස්‌ බොන් අයින්ස්‌ටයින්ට ලිව්වේ ය. කෙසේ වුවත් P X ≠X P මොක ද? ප්‍රශ්නය එසේ ම ය.

හයිසන්බර්ග් විසින් පරමාණුව තුළ ඉලෙක්‌ට්‍රොaන පිහිටීම, ගම්‍යතාව වැනි ගුණ කාලයේ සන්තතික ශ්‍රිතයකින් නො ව හුදු අසන්තතික අගයන්වලින් නිරූපණය කරන ලද බව අපි දුටුවෙමු. මේ අසන්තතික අගයන් ඔහු ගණිත වගු ලෙස ලීවේ ය.



පිහිටීම (X) කාලයේ (t) සන්තතික ශ්‍රිතයක්‌ හෙවත් X = f(t) ලෙස



පිහිටීම (X) කාලයේ (t) අසන්තතික අගයන් ලෙස

පිහිටීම (X) ගම්‍යතාව (ඡ) වැනි විචල්‍ය අතර ගණයන් සඳහා X,P වැනි ගණිත වගු භාවිත කිරීමට හයිසන්බර්ග්ට සිදු විය. ඒවා X = f(t), ච = ෙ(එ) වැනි සන්තතික ශ්‍රිත නො වේ.

එහෙත් පුදුමයකි. ඔහු ගේ නව සිද්ධාන්තයෙන් වර්ණාවලියේ නිරීක්‌ෂණ හරියට ම පැහැදිලි වන විට මේ ගණිත වගුවල ගණනයන් ගෙන් ඔහුට පෙනී ගියේ එය ඔහු දන්නා ගණිතයට පටහැනි වන බවයි. එනම් සාමාන්‍යයෙන් ගණිතයේ දී A B = B A (උදා: 35=53) වේ. එහෙත් ඔහු ගණිත වගු මගින් නිරූපණය කළ රාශීන් (උදා: X වගුව සහ P වගුව) එසේ හැසිරෙන්නේ නැත. එනම් P X ≠ X P වේ. එනම් ගණිතයේ න්‍යාදේශ න්‍යාය (Commutative Laws) මෙහි දී උල්ලංඝනය වේ. එනම් ගම්‍යතා ගුණයට හා පිහිටීම් ගුණයට අදාළ වගු ගුණ කිරීමේ දී ඒ ගුණ කරන අනුපිළිවෙළ අනුව ප්‍රතිඵලය වෙනස්‌ වේ. සම්භාව්‍ය භෞතික විද්‍යාවේ එය එසේ නො වන අතර, කුමන අනුපිළිවළකට ගුණ කළත් එක ම ප්‍රතිඵලය ලැබේ. මෙය හයිසන්බර්ග් ගේ හිතට වද දුන්නේ ය. අනෙක්‌ සියල්ල හරි. එත් මේ සරල වැරැද්ද විය හැකි ද? සියල්ල අවුල් ක්‌වොන්ටම් ලෝකයේ ගණිතයත් අවුල් ද? ඔහු නැවත ගොටින්ගන් සරසවියට ගියේ ය.

"මෙහි ගත යුතු දෙයක්‌ ඇත් ද?" ඔහු සිය සිද්ධාන්තය මිතුරු පවුලිට සහ ගොටින්ගන් සරසවියේ සිය ප්‍රධානියා මැක්‌ස්‌ බෝන්ට (Max Born) දුන්නේ ය. හයිසන්බර්ග් ගේ නිර්මාණය තවත් පැහැදිලි කරගත යුතු විය. එය සිදු කළේ මැක්‌ස්‌ බෝන් ය. "ළඟ දී ම ප්‍රකාශ කරන්න යන හයිසන්බර්ග් ගේ අලුත් ම පත්‍රිකාව මහා පුදුම සහගතයි එහෙත් එය අතිශය ගැඹුරුයි වගේ ම නිවැරැදියි" මැක්‌ස්‌ බෝන් අයින්ස්‌ටයින්ට ලිව්වේ ය. කෙසේ වුවත් P X ≠ X P ඒ මොක ද? මැක්‌ස්‌ බෝන්ට ද ප්‍රශ්නය එසේ ම ය. දින කිහිපයකට පසු බෝන්ට හදිසියේ ම වසර ගණනාවකට පෙර ඔහු සිසුවකු ව සිටිය දී උගත් ගණිත පාඩමක්‌ මතක්‌ විය. P X ≠ X P වන ආකාරයේ ගණිතයක්‌ ඔහු ඉගෙනගත්තා මතක ය. ඒ න්‍යාස (Matrix) නම් ගණිත පාඩමයි. බෝන් ප්‍රශ්නය විසඳුවේ ය.

න්‍යාසයක්‌ යනු සිරස්‌ හා තිරස්‌ සංඛ්‍යා වගුවකි. මේ සංඛ්‍යාවලින් කුමක්‌ හෝ රාශියක්‌ නිරූපනය වනවා විය හැකි ය. වසර දහස්‌ ගණනකට ප්‍රථම පවා චීන ගණිතඥයන් සමගාමී සමීකරණ පහසුවෙන් විසඳීමට න්‍යාස යොදාගෙන ඇත. මහා ගණිතඥ කාර්ල් ගවුස්‌ එය තව දුරටත් වර්ධනය කළ අතර ආතර් කයිලේ විසින් න්‍යාස එකතු කිරීම, ගුණ කිරීම වැනි දේ සඳහා ක්‍රම හඳුන්වා දෙමින් වෙන ම ගණිත පද්ධතියක්‌ ලෙස එය ගොඩනංවන ලදි. එහි ගුණිතය අර්ථ දක්‌වා ඇති ආකාරය අනුව න්‍යාස දෙකක්‌ ගුණ කිරීමේ දී න්‍යාදේශ න්‍යාය සත්‍යය නො වේ. එනම් A නම් න්‍යාසයක්‌ B නම් තවත් න්‍යාසයකින් ගුණ කළ විට AB ≠ BA වේ. "මම න්‍යාස ගැන අහලා වත් තිබුණේ නැහැ" හයිසන්බර්ග් බෝන්ට කීවේ ය. නො දැන ම මේ විසි හතර හැවිරිදි හයිසන්බර්ග් න්‍යාස ගණිතය ද යම් දුරකට නිර්මාණය කොට ඇත.

මැක්‌ස්‌ බෝන්, හයිසන්බර්ග් ගේ සිද්ධාන්තයට න්‍යාස ගණිතය යෙදුවේ ය. ඒ සඳහා ඔහු සිය සිසුවකු වූ පැස්‌කල් ජෝර්දාන් ගේ (Pascual Jordan) උදව් ද ගත්තේ ය. මාස දෙකක්‌ ඇතුළත ගණිතමය වශයෙන් සංගත වූ සහ නිරීක්‌ෂණ ඉතා ඉහළින් පැහැදිලි කළ හැකි පද්ධතියක්‌ නිර්මාණය කොට තිබිණි. එය න්‍යාස යාන්ත්‍රිකය (Matrix Mechanics) ලෙස ද පසු ව හැඳින්විණි. ජෝර්දාන් එහි දී න්‍යාදේශ න්‍යාය අවලංගු වීම සෛද්ධාන්තික ව ද ලබාගත්තේ ය. එය මේ නව ක්‌වොන්ටම් යාන්ත්‍රිකයේ අනන්‍ය ගුණයක්‌ ලෙස පෙනිණි. හයිසන්බර්ග්-බෝන්-ජෝර්දාන් නමින් එම පත්‍රිකාව පළ වීමටත් පෙර පවුලි මේ සිද්ධාන්තය යොදා හයිඩ්‍රජන් වර්ණාවලියේ සියලු ගැටලු පැහැදිලි කිරීමට සමත් විය. දැන් බෝර් සිදු කළාක්‌ මෙන් පැලැස්‌තර පිට පැලැස්‌තර නැත. "හයිසන්බර්ග් අප හැම වික්‌ෂිප්ත කරලා. ඔහු ගේ ගණනයන් හරියට විඡ්ජාවන් වාගෙයි." ඒ අයින්ස්‌ටයින් ගේ වදන් ය.

1925 ජූලි මස හයිසන්බර්ග් සිටියේ එංගලන්තයේ කේම්බ්‍රිඡ් සරසවියේ ය. ඒ දේශනා මාලාවක්‌ කිරීම සඳහා ය. එහි දී ඔහු තව මත් පළ නො කළ ඔහු ගේ නව ක්‌වොන්ටම් සිද්ධාන්තය ගැන නම් කිසිවක්‌ ප්‍රසිද්ධියේ කීවේ නැත. එහෙත් ඔහු ඒ ගැන කේම්බ්‍රිඡ්හි ගණිත ආචාර්යවරයකු වූ රැල්ෆ් ෆවුලර්ට කී අතර, ඔහුට එහි පිටපතක්‌ ද ලබා දුන්නේ ය. රැල්ෆ් එය ඔහු ගේ සිසුවකු හට පෙන්වී ය. මේ පත්‍රිකාව මගින් ඒ සිසුවා ලොව ළාබාලතම නොබෙල් ත්‍යාගලාභියා වේ යෑයි රැල්ෆ් නො සිතන්නට ඇත. එවකට විසි තුන් වියේ වූ මේ සිසුවා නිව්ටන්ට පසු ව එංගලන්තයෙන් බිහි වූ විශිෂ්ටතම භෞතික විද්‍යාඥයා ලෙස සැලකෙන පෝල් එම්. ඩිරැක්‌ ය (Paul Adrien Maurice Dirac).

ඩිරැක්‌ සුප්‍රසිද්ධ සාපේක්‌ෂතාවාදය පිළිබඳව හොඳින් දැන සිටිය ද බෝර් ගේ ක්‌වොන්ටම් පරමාණුව ගැන නම් එතරම් අවධානයක්‌ යොමු කළේ නැත. ඔහු ගේ අදහස වූයේ පරමාණුව යනු හුදු කල්පිතයක්‌ බවයි. 1925 ජූලි මස කේම්බ්‍රිඡ්හි දී බෝර් ගේ දේශනයකට ඩිරැක්‌ ද සහභාගි විය. මේ දේශනය ගැන ඔහු පසු ව කීවේ "මට අවශ්‍ය වුණේ ගණිත සමීකරණවලට ගත හැකි ප්‍රකාශනයි, හුදු විස්‌තර නො වේ." ඉතා හුදෙකලා චරිතයක්‌ වූ ඩිරැක්‌ පුද්ගල සම්බන්ධතාවල දී අතිශය දුර්වල විය. හෙතෙම සාහිත්‍යයට ද ඇල්මක්‌ දැක්‌වූ අතර, එය බීතෝවන් ගේ සිට ටොල්ස්‌ටෝයි දක්‌වා වූ පරාසයක විසිර ගියේ ය. ඔපෙන්හයිමර් භෞතික විද්‍යාවට අමතර ව කවි ලිවීම ද කරන බව දැනගත් ඩිරැක්‌ කීවේ "මට තේරෙන්නේ නෑ එක ම පුද්ගලයෙක්‌ භෞතික විද්‍යාවේ නිර්මාණ මෙන් ම කාව්‍ය නිර්මාණත් කරන්නේ කොහොම ද කියා. මොකද? භෞතික විද්‍යාවේ දී කරන්නේ කාටත් නො තේරෙන දේවල් තේරෙන බසකින් කියන්න හදන එක. කවිවල දී කරන්නේ හැමෝට ම හොඳට ම තේරෙන දේවල් නො තේරෙන බසකින් කියන්න හදන එක."

හයිසන්බර්ග් ගේ පත්‍රිකාව කියවූ ඩිරැක්‌ ඒ අදහස තමන් ගේ ම ක්‍රමයකට වර්ධනය කරන්නට විය. එහි දී ඔහු වීජ ගණිතමය ක්‍රමයක්‌ අනුගමනය කළ අතර, එය ක්‌වොන්ටම් වීජ ගණිතය (Quantum Algebra) ලෙස හැඳින්වේ. ඔහු යම් ක්‌වොන්ටම් අවස්‌ථාවක්‌ (State) - උදාහරණයක්‌ ලෙස ඉලෙක්‌ට්‍රොaනයේ පිහිටීමක්‌ - දෛශිකයකින් නිරූපනය කළේ ය. ඇත්තෙන් ම දෛශියක්‌ ද න්‍යාසක්‌ ලෙස ලිවීමට හැකි අතර ඉන් පසු වීජ ගණිතය යොදා ගණනයන් කළ හැකි ය. තව ද මේ දෛශිකය යන්න ප්‍රවේගය, විස්‌ථාපනය වැනි භෞතික රාශි නිරූපණය කරන ආකාරයේ දෙයක්‌ නො වේ. එය යම් ක්‌වොන්ටම් අවස්‌ථාවක ගණිතමය නිරූපණයකි.

උදාහරණයක්‌ ලෙස ඉලෙක්‌ට්‍රොaනයක බැමුම සලකන්න. (බැමුම පිළිබඳව 19 වැනි ලිපියේ දැක්‌වේ). යම් ඉලෙක්‌ට්‍රොaනයක්‌ උඩු අතට හෝ යටි අතට (සිරස්‌) හෝ බැමුම මනින උපකරණයක්‌ හරහා යෑව්වේ යෑ යි සිතමු. එවිට එහි බැමුම උඩු අතට හෝ යටි අතට ලෙස ප්‍රතිඵලයක්‌ ලැබේ. මැනීමෙන් පසු උඩු අතට බැමුම සටහන් වූයේ යෑයි සිතමු. දැන් ඊට සර්ව සම වෙනත් ඉලෙක්‌ට්‍රොaනයක්‌ සඳහා ඒ මිනුම ම සිදු කළ හොත් ප්‍රතිඵලය යටි අතට බැමුම විය හැකි ය. එනම් මිනුමට පෙර එවන් ඉලෙක්‌ට්‍රොaනයක බැමුම උඩු අතට වේ දැයි යටි අතට වේ දැයි කිව නොහැකි ය. ඩිරැක්‌ ගේ නිරූපණය අනුව සිරස්‌ බැමුම මැනීමට පෙර, ඉලෙක්‌ට්‍රොaනයේ සිරස්‌ අතට බැමුම අවස්‌ථා දෙකක්‌ ලෙස පවතී. (උඩු සහ යටි - මෙය පසුව ලිපිවල පැහැදිලි කෙරේ). ඩිරැක්‌ ඒ අවස්‌ථා දෙක පහත පරිදි දෛශික දෙකකින් නිරූපණය කළේ ය. මේ දෛශික මාන දෙකකින් යුක්‌ත ය. (අගයන් දෙකකින් (0ල1) දැක්‌වෙන බැවින්-උඩු / යටි).

උඩු අතට බැමුම අවස්‌ථාව නිරූපණය කරන දෛශිකය 



යටි අතට බැමුම අවස්‌ථාව නිරූපණය කරන දෛශිකය



ඳම ඝ ඩිරැක්‌ ගේ දෛශික නාමකරණයයි. (Dirac Notation).

ඉහත බැමුම සඳහා ඇත්තේ අවස්‌ථා දෙකක්‌ වුවත්, ඉලෙක්‌ට්‍රොaනයක (පොදුවේ ක්‌වොන්ටාවක) පිහිටීම (x) අපරිමිත අවස්‌ථා ගණනකින් නිරූපනය කිරීමට සිදු වේ (යම් පරාසයක්‌ තුළ ඕනෑ ම තැනක ක්‌වොන්ටාව පිහිටයි නම්). හයිසන්බර්ග් ද පෙන්වා දුන් පරිදි යම් පිහිටීමක්‌ (අවස්‌ථාවක්‌) ගැනීමට යම් සම්භාවිතාවක්‌ ඇත. පිහිටීම නිශ්චය වීමට පෙර සියලු අවස්‌ථා පවතී. ඒ එක අවස්‌ථාවක්‌ නිරූපණය කරන දෛශික අපරිමිත මාන සහිත වූවකි. එනම් ඒ දෛශික අවකාශය (Vector space) අපරිමිත මාන සහිත වූවකි.

ඉලෙක්‌ට්‍රොaනයට ගත හැක්‌කේ පිහිටීම් 3ක්‌ පමණක්‌ යෑයි සිතමු. එවිට එහි පිහිටීම් අවස්‌ථාවක්‌ මාන 3ක්‌ සහිත දෛශිකයකින් ඉදිරිපත් කළ හැකි ය. එසේ ක්‌වොන්ටාවක සියලු විය හැකි අවස්‌ථා දෛශිකවලින් නිරූපණය කළ අතර එක්‌ අවස්‌ථාවකින් තවත් අවස්‌ථාවකට මාරු වීම (උදා: පිහිටීම වෙනස්‌ වීම හෙවත් චලිතය) ඒ අවස්‌ථාවට අදාළ දෛශිකයේ භ්‍රමණයෙන් දැක්‌ විය හැකි බව ඩිරැක්‌ පෙන්වා දුන්නේ ය. පිහිටීම මෙන් ම ගම්‍යතාව ද එසේ දැක්‌විය හැකි ය. මේ දෛශික අතර ගණනයන් ගෙන් P X ≠ X P වීම ඩිරැක්‌ ද ගණිතමය වශයෙන් ලබාගත්තේ ය. මේ අසමාන වීම ක්‌වොන්ටම් සිද්ධාන්තයේ ලාක්‌ෂණික ගුණය බව ඔහු දුටුවේ ය. එහෙයින් ම එය සම්භාව්‍ය භෞතිකයෙන් වෙනස්‌ වේ. හයිසන්බර්ග් ගේ න්‍යාස යාන්ත්‍රිකය ඩිරැක්‌ ගේ මේ නව වීජ ගණිතය තුළ ම විය. ඔහු ගේ සිද්ධාන්තය ද නිරීක්‌ෂණ සමඟ හරියට ම ගැලපිණි.

"මම ඔබේ සුවිශේෂ පත්‍රිකාව ඉතා ඇල්මෙන් කියෙව්වෙමි. එහි නිරවද්‍යතාව ගැන මට සැකයක්‌ නැත. අප ගේ උත්සාහයට වඩා හොඳින් එය ලියා තිබෙනවා" හයිසන්බර්ග්

ඩිරැක්‌ට එසේ ලීවේ ය.

ලබන සතියේ : 22 කොටස : ගසාගෙන යන යථාර්ථයට එල්ලෙන්න තරංගයක්‌

සමිත ප්‍රසන්න හේවගේ