logo3.gif (702 bytes)

HOME


අංශු සම්බන්ධ සන්තතික හා අවකල්‍ය ශ්‍රිත

බටහිර භෞතික විද්‍යාව හා බටහිර ගණිතය අතර සම්බනධයක්‌ වෙයි. ඒ සම්බන්ධය ඇති වන්නේ ක්‍ෂෙත්‍ර දෙක ම වියුක්‌ත වීම හේතුවෙනි. බටහිර ගණිතය බටහිර භෞතික විද්‍යාවට වඩා බෙහෙවින් වියුක්‌ත නමුත් බටහිර භෞතික විද්‍යාව අනෙක්‌ බටහිර විද්‍යාවන්ට වඩා වියුක්‌ත වෙයි. පසුගිය සතියේ අංශුවල පිහිටුම, කාලය, පෙත ආදිය සාකච්ඡා කිරීමේ දී මේ සම්බන්ධය යම් දුරකට වුවත් පෙන්වා දීමට අපි උත්සාහ කළෙමු.

එහෙත් එයින් කියෑවෙන්නේ අංශුවලට පිහිටුම, ප්‍රවේග ආදිය ලැබෙන්නේ බටහිර ගණිතය නිසා බවක්‌ නො වේ. බටහිර ගණිතය ඇතත් නැතත් යම් නිරීක්‍ෂකයකුට අංශුවක පිහිටුම මෙන් ම ප්‍රවේගය ද (අවශ්‍ය නම් ගම්‍යතාව) නිරීක්‍ෂණය කළ හැකි ය. වෙනත් වචනවලින් කියන්නේ නම් අපට ඒ මැනගත හැකි ය. අප උත්සාහ කළේ අංශුවක පිහිටුම ලෙස r =r(t) ලිවිය හැකි බව පෙන්වීමටත් ඒ සමග වෙනත් සම්බන්ධතා ද ගොඩනැඟිය හැකි බව පෙන්වීමටත් ය.

අපි මෙය තවදුරටත් සලකා බලමු. විශේෂයෙන් ම ඇතැමුන් අංශුවකට ප්‍රවේගයක්‌ ලැබෙන්නේ r =r(t) යනුවෙන් ශ්‍රිතයක්‌ පවතින නිසා ද ආදී වශයෙන් ප්‍රශ්න අසන බැවින් මෙය නිරවුල් කරගත යුතු ව ඇත. භෞතිකව ගත හොත් නිව්ටෝනීය විද්‍යාවෙහි අංශු ඇත. අවකාශයක්‌ ඇත. කාලය ඇත. එමෙන් ම ප්‍රවේග ත්වරණය බල ආදිය ද ඇත. අංශුවක්‌ එක්‌ ලක්ෂ්‍යයක සිට තවත් ලක්ෂ්‍යයකට චලිත විය හැකි ය. එයට බටහිර භෞතික විද්‍යාවෙහි විස්‌ථාපනයක්‌ යෑයි කියෑවෙයි. මේ විස්‌ථාපනය සම්බන්ධ කර ගනිමින් අංශුවෙහි සාමාන්‍ය වේගය හා ස්‌ථානීය ප්‍රවේගය ත්වරණය ආදී සංකල්ප ගොඩනගා ගැනෙයි.

විස්‌ථාපනය, වේගය, ප්‍රවේගය ආදී සංකල්ප ගොඩනැඟෙන්නේ භෞතික ව ය. එනම් නිරපේක්‍ෂ ව පවතින්නේ යෑයි කියෑවෙන භෞතික අවකාශයක හා ඒ ඔස්‌සේ ගලා යන්නේ යෑයි කියෑවෙන භෞතික වූ කාලයක ය. ඒ සියල්ල බටහිර යුදෙව් ක්‍රිස්‌තියානි සංස්‌කෘතියෙහි ගොඩනැඟෙයි. සිංහල බෞද්ධයනට නම් නිරපේක්‍ෂ වූ අවකාශයක්‌ නැත. ඔවුන්ට කාලය යනු ප්‍රඥප්තියක්‌ හෙවත් පැණවීමක්‌ පමණකි. බොහෝ අයට තවමත් සිංහල බෞද්ධයන් ගේ ලෝකය හා බටහිර ක්‍රිස්‌තියානි ලෝකය අතර ඇති වෙනස්‌කම් හඳුනාගත නොහැකි වීම අභාග්‍යයකි.

නිව්ටෝනීය භෞතික විද්‍යාවෙහි භෞතික අවකාශයෙහි හිඩැස්‌ නොමැත. එනම් ඒ අවකාශය ත්‍රිමාන ලෙස ගත් කල අවකාශය මුළුමනින් ම ඒ ත්‍රිමානයෙහි ම වෙයි. එමෙන් ම කාලයට ද හිඩැස්‌ නැත. අංශු යම් කාලයක දී අවකාශයෙහි තැනින් තැනට විස්‌ථාපනය වෙයි. කිසිදු අංශුවක්‌ ත්‍රිමාන අවකාශයෙන් කිසි විටෙකත් ඉවත් නො වේ. අංශුවක්‌ අතුරුදන් නො වෙයි. (අංශුව විනාශ විය හැකි ය. එහි දී එයට යම්කිසි විපර්යාසයක්‌ සිදු වනු මිස අතුරුදන් වීමක්‌ සිදු නො වේ)

ගණිතයෙහි ඇත්තේ ගණිතමය අවකාශ ය. යුක්‌ලීඩීය අවකාශය ද ජ්‍යාමිතියෙහි දක්‌නට ලැබෙන ජ්‍යාමිතික හෙවත් ගණිතමය අවකාශයකි. මේ ගණිතමය අවකාශය පැරැණි ග්‍රීකයන් නිර්මාණය කර ඇත්තේ භෞතික අවකාශය වියුක්‌තකරණයට ලක්‌ කිරීමෙනි. යුක්‌ලීඩීය අවකාශය භෞතික අවකාශයෙන් ම ලබාගත්තක්‌ වීම නිව්ටෝනීය භෞතික විද්‍යාවෙහි දී වැදගත් වෙයි. අපට ඉන්ද්‍රිය ගෝචර වන්නේ භෞතික අවකාශය මිස යුක්‌ලීඩීය අවකාශය නො වේ. යුක්‌ලීඩීය අවකාශය ගණිතමය ලක්ෂ්‍යවලින් නිර්මාණය වී ඇත.

එහෙත් ඒ ලක්ෂ්‍ය ඉන්ද්‍රිය ගෝචර නො වේ. එපමණක්‌ නො වේ. යුක්‌ලීඩීය අවකාශයෙහි ලක්ෂ්‍යයක්‌ යනු නිර්වචනය කළ හැකි සංකල්පයක්‌ නො වේ. එහෙත් එහි අනෙක්‌ සංකල්ප ලක්ෂ්‍ය යොදා ගනිමින් සිදු කෙරෙයි. එහෙත් භෞතික අවකාශයෙහි ගණිතමය ලක්ෂ්‍ය නොමැත. එහි ඇත්තේ ස්‌ථාන ය. ස්‌ථාන ඉන්ද්‍රිය ගෝචර වෙයි. අංශු (හා වස්‌තු) සාමාන්‍යයෙන් මේ ස්‌ථානවල පවතියි. ස්‌ථානයකින් වෙනස්‌ වීම විස්‌ථාපනයකි. අංශු එසේ විස්‌ථාපනය වීමට අංශුවල චලිතය යෑයි කියනු ලැබෙයි.

අංශුවක්‌ යනු ඉන්ද්‍රිය ගෝචර නො වන්නකි. අපට ඉන්ද්‍රිය ගෝචර වන්නේ කෙතරම් කුඩා වුවත් වස්‌තු ය. වස්‌තුවක පරිමාව ශුන්‍ය ලෙස ගැනීමෙන් අපට අංශුවක්‌ ලැබෙයි. එබැවින් භෞතික වූ පැවැත්මක්‌ ඇති අංශු නැත. එහෙත් අපි බටහිර භෞතික විද්‍යාවෙහි දී අංශු ගැන කතා කරමු. ඒ ඉතා කුඩා වස්‌තු යන අර්ථයකින් ය. අංශු, එනම් කුඩා වස්‌තු, එක්‌ ස්‌ථානයක සිට තවත් ස්‌ථානයකට යැමේ දී (විස්‌ථාපනයෙහි දී) ස්‌ථාන පසු කරමින් ම යයි. ස්‌ථානවල හිඩැස්‌ නැත. අංශුවක්‌ එක්‌ ස්‌ථානයක සිට වෙනත් ස්‌ථානයකට යැමේ දී යම් කාලයක්‌ ගත වෙයි. මේ කාලය භෞතික කාලයකි. බටහිරයන්ට අවකාශය මෙන් ම හිඩැස්‌ නොමැති කාලයක්‌ වන අතර ඒ කාලයෙහි ද හිඩැස්‌ නො මැත.

භෞතිකයෙහි ඇති කුඩා වස්‌තු බටහිර ගණිතයෙහි දී අංශු බවට පත් වෙයි. එනම් කුඩා වස්‌තු බටහිර ගණිතයෙහි දී අංශු ලෙස සැලකෙයි. බටහිර ගණිතයෙහි දී භෞතික අවකාශය ගණිතමය අවකාශයක්‌, මෙහි දී යුක්‌ලීඩීය ත්‍රිමාන අවකාශය බවට පත් වෙයි. මෙහි ද පත් වෙයි යන්නෙන් කියෑවෙන්නේ එසේ සැලකෙන බව මිස රූපාන්තරණයක්‌ හෝ වෙනත් එවැන්නක්‌ නො වන බව සඳහන් කළ යුතු ය. භෞතික අවකාශය හා ගණිතමය අවකාශය යන්න එකක්‌ නො ව දෙකකි. භෞතික අවකාශය ද වියුක්‌ත ය. ඒ අවකාශය නිව්ටෝනීය භෞතික විද්‍යාවෙහි දී ලැබෙන්නේ වස්‌තු විකිරණ ආදිය නැතැයි සැලකීමෙනි. නිව්ටෝනීය භෞතික විද්‍යාවෙහි වියුක්‌ත අවකාශයක කාලය ගලා යන්නේ යෑයි සැලකෙයි.

අංශුවක්‌ (කුඩා වස්‌තුවක්‌) එක්‌ ස්‌ථානයක සිට තවත් ස්‌ථානයකට යැමේ දී සාමාන්‍ය වේගය අර්ථ දැක්‌වෙන්නේ ගෙවා ගිය දුර ඒ සඳහා ගත වූ කාලයෙන් බෙදීමෙනි. එහෙත් දුර මැනෙන්නේ අවකාශයෙහි බව අමතක කළ යුතු නො වේ. එහෙත් අංශුවට සැම තැනක දී ම එක ම වේගයක්‌ නො වේ. අංශුව යම් දුරක්‌ එක්‌ සාමාන්‍ය වේගයකින් ද තවත් දුරක්‌ තවත් සාමාන්‍ය වේගයකින් ද යා හැකි ය. එයටත් වඩා අංශුව දිගින් දිගට ම සෑම ස්‌ථානයක දී ම වේගය වෙනස්‌ කිරීමට ද ඉඩ ඇත. ත්වරණයක්‌ සහිත ව ගමන් කරන අංශුවක්‌ එසේ කරනු ඇත. ඒ කෙසේ වෙතත් යම් කිසි ස්‌ථානයක දී අංශුවේ වේගය දැන ගැනීමට අපට අවශ්‍ය වුව හොත් අප එය කරන්නේ කෙසේ ද?

අපට කළ හැක්‌කේ අදාළ ස්‌ථානයට ඉතා ම ආසන්න ස්‌ථානයකට යැමේ දී අංශුව ගෙවා යන දුර (එය ඉතා සුළු දුරකි) ඒ සඳහා ගත වූ කාලයෙන් (එය ද ඉතා සුළු කාලයකි) බෙදීම ය. එහෙත් එය ද ඒ සුළු දුර ගෙවා යැමේ දී අංශුවේ සාමාන්‍ය වේගය මිස අදාළ ස්‌ථානයේ දී අංශුවේ වේගය නො වේ. අදාළ ස්‌ථානයේ දී අංශුවේ වේගය සෙවීමට නම් අපට අංශුව ගෙවා ගිය දුර ශුන්‍ය කිරීමට සිදු වෙයි. එහි දී ඒ සඳහා ගත වූ කාලය ද ශුන්‍ය වෙයි. එහෙත් එය භෞතිකව කළ හැක්‌කක්‌ නො වේ.

ඉහත සඳහන් සීමාව නො පවතින අවස්‌ථා ද ඇත. සීමාව පවතින අවස්‌ථාවේ දී එයට දුර, කාලය විෂයයෙහි අවකලනය කිරීමෙන් ලැබෙන අවකල සංගුණකය යෑයි කියනු ලැබෙයි. ඒ සඳහා යම් නිශ්චිත ස්‌ථානයක සිට අංශුවකට ඇති දුර කාලයෙහි ශ්‍රිතයක්‌ ලෙස විස්‌තර කිරීමේ හැකියාව තිබිය යුතු ය. එය ඉතා කුඩා කාලයක දී අර්ථ දැක්‌වෙන්නක්‌ විය හැකි ය. එහෙත් එම ශ්‍රිතයෙහි අවකලන සංගුණකය සෙවීමට හැකි වීම ගණිතමය වශයෙන් අංශුවේ වේගය සෙවීම සඳහා අනිවාර්ය වෙයි. එවැනි ශ්‍රිතවලට අදාළ විචල්‍යයෙහි අවකල්‍ය ශ්‍රිත යෑයි කියනු ලැබේ.

සම්භාව්‍ය භෞතික විද්‍යාවෙහි අංශුවකට යම් කාලයක දී නිශ්චිත පිහිටුමක්‌ මෙන් ම නිශ්චිත වේගයක්‌ ද වෙයි. අංශුව අදාළ අවස්‌ථාවෙහි දී චලිත වන දිශාව ද සලකන්නේ නම් අංශුවට නිශ්චිත ප්‍රවේගයක්‌ ඇතැයි ද කිව හැකි ය. අංශුවකට යම්කිසි අවස්‌ථාවක දී (කාලයක දී) නිශ්චිත පිහිටුමක්‌ හා ප්‍රවේගයක්‌ ඇතැයි යන්න අපට දෛශික භාවිතයෙන් කිව හැක්‌කේ ඒ අදාළ අවස්‌ථාවෙහි දී අවකාශයෙහි යම් නිශ්චිත ලක්ෂ්‍යයක්‌ අනුබද්ධයෙන් අංශුව අවකාශයෙහි සම්පාත වන ලක්ෂ්‍යයෙහි පිහිටුම් දෛශිකය ද අංශුවෙහි ප්‍රවේග දෛශිකය ද එකවිට ලිවිය හැකි ය යනුවෙනි.

අප මේ පිළිබඳ ව තරමක්‌ දීර්ඝ වශයෙන් සාකච්ඡා කරන්නේ ක්‌වොන්ටම් භෞතිකයෙහි බටහිර විද්‍යාඥයන් ගොඩනඟා ඇති ආකෘතිය මෙයට වඩා වෙනස්‌ බැවිනි. එහි දී නිශ්චිත අවස්‌ථාවක දී (කාලයක දී) අංශුවක (ඒ අංශු සම්භාව්‍ය භෞතික විද්‍යාවෙහි විස්‌තර කෙරෙන අංශුවලට වඩා වෙනස්‌ ය) පිහිටුම හා ප්‍රවේගය එක විට තිබිය නො හැකි ය. ක්‌වොන්ටම් භෞතික විද්‍යාවෙහි විස්‌තර කෙරෙන අවකාශය හා කාලය නිව්ටෝනීය භෞතික විද්‍යාවෙහි විස්‌තර කෙරෙන අවකාශයට හා කාලයට (සාපේක්‍ෂතාවාදී භෞතික විද්‍යාවෙහි දී නම් අවකාශ-කාලයට) වඩා වෙනස්‌ ය.

නිව්ටෝනීය භෞතික විද්‍යාවෙහි අංශුවකට නිශ්චිත අවස්‌ථාවක නිශ්චිත පිහිටුමක්‌ හා නිශ්චිත ප්‍රවේගයක්‌ (ගම්‍යතාවක්‌) ඇත. එය බටහිර ගණිතයෙහි කියෑවෙන්නේ යම්කිසි නිශ්චිත අවස්‌ථාවක දී යම්කිසි නිශ්චිත ලක්ෂ්‍යයක්‌ අනුබද්ධයෙන් අංශුව අවකාශයෙහි සම්පාත වන ලක්ෂ්‍යයක පිහිටුම් දෛශිකය කාලයෙහි ශ්‍රිතයක්‌ ලෙස ලිවිය හැකි බව හා එම ශ්‍රිතය ඒ පිහිටුමෙහි දී කාලය අනුබද්ධයෙන් අවකලනය කළ හැකි බව ය. මෙහි තේරුම නම් අදාළ අවස්‌ථාවෙහි (කාලයෙහි) ඉහත සඳහන් ආකාරයෙන් අර්ථ දැක්‌වෙන පිහිටුම් දෛශිකය අඩු ම තරමෙන් සුළු කාලයක දී කාලයෙහි සන්තතික ශ්‍රිතයක්‌ ලෙස ලිවිය හැකි බව හා එය කාලය අනුබද්ධයෙන් අවකලනය කළ හැකි බව ය.

යම් විචල්‍යයක ශ්‍රිතයක්‌ එම විචල්‍යය අනුබද්ධයෙන් යම් අවස්‌ථාවක දී අවකලනය කළ හැකි නම් අදාළ ශ්‍රිතය ඒ අවස්‌ථාවෙහි දී සන්තතික වෙයි. එහෙත් ඒ ඒ සන්තතික ශ්‍රිත අදාළ අවස්‌ථාවල දී ඒ ඒ විචල්‍ය අනුබද්ධයෙන් අනිවාර්යයෙන් අවකල්‍ය නො වේ. එනම් ඉන් කියෑවෙන්නේ අංශුවකට යම් නිශ්චිත අවස්‌ථාවක දී නිශ්චිත පිහිටුමක්‌ තිබුණ ද ප්‍රවේගයක්‌ තිබිය යුතු ම නො වේ යන්න ය. අංශුවට ඇතැම් අවස්‌ථාවල නිශ්චිත ප්‍රවේග තිබිය හැකි නමුත් ඇතැම් අවස්‌ථාවල එලෙස නිශ්චිත ප්‍රවේග නො තිබිය හැකි ය.

අපට ප්‍රශ්නය වන්නේ යම් අංශුවකට නිශ්චිත අවස්‌ථාවක දී නිශ්චිත පිහිටුමක්‌ හා නිශ්චිත ප්‍රවේගයක්‌ ඇත්නම් එය බටහිර ගණිතයෙහි දී විස්‌තර කරන්නේ කෙසේ ද යන්න ය. එයට දැනට දිය හැකි පිළිතුර නම් යම් නිශ්චිත ලක්ෂ්‍යයක්‌ අනුබද්ධයෙන් අංශුවට කාලය විෂයයෙහි අවකලනය කළ හැකි පිහිටුම් දෛශික ශ්‍රිතයක්‌ තිබිය යුතු ය යන්න ය

නලින් ද සිල්වා