logo3.gif (702 bytes)

arrow7.gif (1098 bytes)


හාවා ඉබ්බා පැරදවීම

මහාචාර්ය නලින් ද සිල්වා

පද්ධතියක්‌ කොටස්‌වලට කැඩීමෙන් ඇතැම් අවස්‌ථාවල දී සාර්ථක ප්‍රතිඵල ලබාගත හැකි ය. නිව්ටෝනීය භෞතිකය ඒ සඳහා හොඳ ම උදාහරණය වෙයි. එහෙත් කොටස්‌වලට කැඩීමෙන් සෑම අවස්‌ථාවක දී ම එලෙස සාර්ථක ප්‍රතිඵල අත් කරගැනීමට නොහැකි බව ක්‌වොන්ටම් භෞතිකයෙන් මනාව පැහැදිලි වෙයි. එහි දී සමස්‌තය සැලකිල්ලට ගත යුතු ය. අයින්ස්‌ටයින් ඇරිස්‌ටෝටලීය න්‍යායෙහි පැහැදිලිව හා නිරවුල්ව හා එමෙන් ම නිවැරැදිව තර්ක කළ ද ක්‌වොන්ටම් භෞතිකයෙහි දී ඔහු නිතර ම වරද්දා ගත්තේ සමස්‌තය ගැන කල්පනා කිරීමට ඔහු අසමත් වූ නිසා ය. අනෙක්‌ අතට ඇරිස්‌ටෝටලීය න්‍යායෙහි තර්ක කිරීමෙහි වරද්දා ගත්ත ද නීල් බෝර් ක්‌වොන්ටම් භෞතිකයෙහි දී නිවැරැදි නිගමනවලට පැමිණියේ ඔහුට අදාළ සමස්‌තය ගැන එනම් ක්‌වොන්ටම් පද්ධතියක්‌ ගැන වැටහීමක්‌ තිබුණු බැවිනි.

අපි පද්ධතිය හා බෙදීම ගැන ඉතා සරල උදාහරණයක්‌ ලෙස ඉබ්බා ගේ හා හාවා ගේ කතාව සලකමු. තරගය ආරම්භයේ දී ඉබ්බා හාවාට ඉදිරියෙන් B නම් ස්‌ථානයක පසු වෙයි. හාවා ඇත්තේ A නම් ස්‌ථානයක ය. හාවා ද ඉබ්බා ද දුවන්නේ AB සරල රේඛාව දිගේ ය. දැන් තර්කය ඇරඹෙන්නේ හාවා A සිට B කරා යන කාලයෙහි දී ඉබ්බා ද යම් දුරක්‌ යන බවත් එබැවින් හාවා A කරා එළඹෙන විට ඉබ්බා B ලක්‌ෂ්‍යයෙන් සුළු වුවත් යම් දුරක්‌ ගොස්‌ C නම් ලක්‌ෂ්‍යයකට යන බවත් සඳහන් කරමිනි. එවිට හාවාට ඉබ්බා පසු කිරීමට නම් C නම් ලක්‌ෂ්‍යයට යා යුතු ම වන බව පෙනෙයි. එහෙත් ප්‍රශ්නය වනුයේ හාවා C නම් ලක්‌ෂ්‍යයට යන විට ඉබ්බා එතැන නො වීම ය. හාවා C නම් ලක්‌ෂ්‍යයට එන විට ඉබ්බා ඒ කාලයෙහි තවත් ඉදිරියට ගොස්‌ වෙනත් D ලක්‌ෂ්‍යයකට ගොසිනි. දැන් හාවාට ඉබ්බා පසු කර යැමට නම් ඒ D නම් ලක්‌ෂ්‍යයට යා යුතු වෙයි. මෙය කෙළවරක්‌ නැති ගමනකි. එබැවින් හාවාට ඉබ්බා පසු කර යැමට නො හැකි යෑයි ඒ අනුව නිගමනය කිරීමට සිදු වෙයි.

මේ තර්කයෙහි ඇති වරද කුමක්‌ ද? එය වියුක්‌තය පිළිබඳ ප්‍රශ්නයක්‌ නො වේ. හාවා ද ඉබ්බා ද ඉන්ද්‍රිය ගෝචර සත්තු වෙති. ඔවුන් දුවන (ඇවිදින) ආකාරය ද අපට දැකගත හැකි ය. අනෙක්‌ අතට එය ඊනියා යථාර්ථය පිළිබඳ ප්‍රශ්නයක්‌ ද නො වේ. ඉබ්බා හා හාවා යනු දෙවියන් වහන්සේ මවා ඇති යථාර්ථයක්‌ ය යන්න ඉවත් කළ ද අපට හාවා විසින් ඉබ්බා පසු නො කෙරෙන්නේ ය යන විසංවාදයට (විරුද්ධාභාසයට) විසඳුමක්‌ නො ලැබෙයි. මේ විසංවාදයට මූලික හේතුව සමස්‌තය කොටස්‌වලට කැඩීම ය. හාවා ගේ හා ඉබ්බා ගේ සමස්‌ත තරගය ඊනියා විශ්ලේෂණයක්‌ සඳහා අපි කොටස්‌වලට කඩමු. විශ්ලේෂණය කිසි ම තැනක දී නො කළ යුතු යෑයි මෙයින් ගම්‍ය නො වන බව මෙහි දී අවධාරණය කළ යුතු වන්නේ ඇතැමුන් එවැනි නිගමනවලට පැමිණෙන බැවිනි.

මෙහි දී සමස්‌ත චලිතය කොටස්‌ අනන්තයකට බෙදා ඇත. අනන්තය යනු අපට තේරුම් ගැනීමට පහසු සංකල්පයක්‌ නො වෙයි. බටහිර ගණිතයෙහි අනන්තය අර්ථ දැක්‌වෙන්නේ අගයෙන් ඉතා විශාල සංඛ්‍යාවක නො ගන්නා සීමාවක්‌ ලෙස ය. අනන්තය යනුවෙන් බටහිර ගණිතයෙහි සංඛ්‍යාවක්‌ නොමැත. බටහිර ගණිතයෙහි යම් විචල්‍යයක්‌ අනන්තය කරා එළඹෙන්නේ යෑයි කියනු ලැබෙයි. එහෙත් ඒ විචල්‍යය අනන්තය නම් අගය ගන්නේ යෑයි නො කියෑවෙයි. හාවා ගේ හා ඉබ්බා ගේ සමස්‌ත චලිතය කොටස්‌ ඉතා විශාල සංඛ්‍යාවකට බෙදා ඒ සංඛ්‍යාව අනන්තයට එළඹෙන අවස්‌ථාව බටහිර ගණිතයෙහි සාකච්ජා කෙරෙයි.

හාවා ගේ හා ඉබ්බා ගේ චලිතය කොටස්‌ ඉතා විශාල සංඛ්‍යාවකට බෙදන අපි ඒ ඒ කොටස ගෙවා යැම සඳහා හාවාට ගත වන කාල අන්තරය ගණනය කරමු. ඒ කාල අන්තර ඉතා විශාල සංඛ්‍යාවක්‌ අපට ලැබෙන බව පැහැදිලි ය. ඒ සංඛ්‍යාව අනන්තයට එළැඹෙන බවත් අපි දනිමු. හාවාට ඉබ්බා පසු කර යා නොහැකි යෑයි අප උපකල්පනය කරන්නේ සමස්‌ත චලිතය කුඩා කොටස්‌ විශාල සංඛ්‍යාවකට බෙදා ඇති නිසාත්, ඒ සංඛ්‍යාව අනන්තයට එළඹෙන නිසාත්, එවිට හාවාට ඉබ්බා පසු කිරීම සඳහා අනන්ත කාලයක්‌ යන්නේ යෑයි අප උපකල්පනය කරන නිසාත් ය.

එහෙත් ඒ කාල අන්තර එකතු කළ හොත් කොටස්‌ සංඛ්‍යාව අනන්තයට එළඹුණ ද, කාල අන්තරවල ඓක්‍යය අනන්තයට නො එළඹෙන බව අපට පෙන්වා දිය හැකි ය. කාල අන්තර පොදු අනුපාතය එකට අඩු වූ ගුණෝත්තර ශේ්‍රණියක්‌ සාදන බවත් ශ්‍රේණියෙහි ඓක්‍යය කොටස්‌ සංඛ්‍යාව අනන්තයට එළඹීමේ දී පරිමිත අගයක්‌ වන බවත් පහසුවෙන් පෙන්වා දිය හැකි ය. එහෙත් එසේ කළ හැකි වන්නේ මේ විශේෂ අවස්‌ථාවෙහි දී ගුණෝත්තර ශ්‍රේණියේ ඓක්‍යය පරිමිත සංඛ්‍යාවක්‌ වන නිසාත් ය.

පද සංඛ්‍යාව අනන්තයට එළඹෙන ශ්‍රේණියක ඓක්‍යය සෑම විට ම පරිමිත වන්නේ නො වේ. අපරිමිත වන අවස්‌ථා ද වෙයි. එබැවින් එවැනි ශ්‍රේණියක්‌ දුටු පමණින් එහි පදවල ඓක්‍යය අපරිමිත නො වන්නේ යෑයි අපට උපකල්පනය කළ හැකි නො වේ. ඒ කෙසේ වෙතත් මෙහි දී විසංවාදයක්‌ එනම් විරුද්ධාභාසයක්‌ ඇති වන්නේ අප අදාළ ශ්‍රේණියෙහි අගය අනන්තයට එළඹෙන්නේ යෑයි උපකල්පනය කරන බැවිනි. මෙහි දී ඒ අගය අනන්තයට නො එළඹෙයි.

කොටස්‌වලට බෙදා අධ්‍යයනය කිරීමේ දී ගැටලු කිහිපයක්‌ මතු වෙයි. එකක්‌ අපි දැනටමත් සාකච්ජා කර ඇත්තෙමු. ඒ කාල අන්තරවල හෝ වෙනත් විචල්‍යයක අගයන් ගේ එකතුව අනන්තයට එළඹෙන්නේ යෑයි උපකල්පනය කිරීම ය. තවත් ගැටලුවක්‌ නම් ඒ ඒ කොටස්‌ අතර ඇති අන්තර් සම්බන්ධය අප විසින් නො සලකා හරිනු ලැබීම ය. ශරීරය කොටස්‌වලට කඩා ඒ ඒ කොටසට වෙන ම වෙදකම් කරන බටහිර වෛද්‍ය විද්‍යාවෙහි මේ ප්‍රශ්නය මතු වෙයි. එක්‌ කොටසකට වෙදකම් කරන විට අනෙක්‌ කොටසක ආබාධය වැඩි වීමට ඉඩ ඇත. විශේෂයෙන් ම අධි සත්කාර ඒකකවලට ගෙනෙන රෝගින්ට ප්‍රතිකාර කිරීමේ දී ඒ ඒ කොටස නැත හොත් අවයවය අනෙක්‌ අවයවවලට ප්‍රතිකාර කිරීමේ දී කෙසේ වෙනස්‌ වන්නේ දැයි දැනගෙන ප්‍රතිකාර කිරීමේ ක්‍රමයක්‌ අද බටහිර වෛද්‍ය විද්‍යාවට නැත.

තව ද සමස්‌තයෙහි අන්තර්ගතය මුළුමනින් ම කොටස්‌වල අන්තර්ගත එකතුවක්‌ නො වේ. පද්ධතියක කොටස්‌ අතර ඇති අන්තර් සම්බන්ධ හේතුවෙන් සමස්‌තය යනු කොටස්‌වල එකතුවට වඩා වැඩි යමක්‌ වෙයි. එනම් කොටස්‌ පමණක්‌ අධ්‍යයනය කිරීමෙන් ඒ අමතර දෙය, ගුණය ද දැනගැනීමට අපට අවකාශයක්‌ නො ලැබෙයි. ජලය අණුවක්‌ යනු කුමක්‌ ද ජලයෙහි ගුණ කවරේ ද යනාදිය ඔක්‌සිජන් හා හයිඩ්‍රජන් අණුවල හෝ වායුවල හෝ ගුණ හැදෑරීමෙන් දැනගත හැකි නො වෙයි. වෙනත් අයුරකින් කියන්නේ නම් ජලය අණුවක හෝ ජලයෙහි හෝ ගුණ ඔක්‌සිජන් හා හයිඩ්‍රජන් අණුවල හෝ වායුවල හෝ ගුණයෙන් අපෝහනය කළ හැකි නො වේ.

බටහිර ගණිතයෙහි ගර්ඩ්ල් ප්‍රමේයයෙන් කියෑවෙන්නේ ද එවැන්නකි. අංක ගණිතයෙහි ගුණ අඩංගු ගණිත පද්ධතියක ස්‌වසිද්ධිවලින් අපෝහනය කළ නොහැකි එහෙත් ගණිතමය වශයෙන් සත්‍ය වූ ප්‍රකාශන තිබිය හැකි බව ඒ ප්‍රමේයයෙන් කියෑවෙයි. එහෙත් කිසිවකු ගර්ඩ්ල් ප්‍රමේයය යොදා කලින් ජලය ඔක්‌සිජන් හා හයිඩ්‍රජන් ගැන කී දේ අපෝහනය කිරීමට උත්සාහ නො ගත යුතු ය. ගර්ඩ්ල් ප්‍රමේයය එහි දී යොදාගත හැකි දැයි අපි නො දනිමු.

සියලු සංකල්ප අපේ නිර්මාණ වෙයි. ප්‍රමේයයෙන් ද එසේ ම ය. ඒ ඒ සංකල්ප, ප්‍රවාද නිර්මාණය කෙරෙන්නේ සීමිත පරාසයක යොදා ගැනීමට ය. ඒ පරාසයෙන් බාහිරව සංකල්පයක්‌ ප්‍රවාදයක්‌ හෝ වෙනත් යමක්‌ හෝ යොදා ගැනෙන්නේ නම් පළමුව සංකල්පයට හෝ ප්‍රවාදයට හෝ අනුරුපව පරාසය පළල් කළ හැකි දැයි දැනගත යුතු ය. එසේ නොමැතිව ඉවක්‌ බවක්‌ නොමැතිව සංකල්ප, ප්‍රවාද යොදා ගැනීමෙන් වැරැදි නිගමනවලට එළඹීමේ හැකියාව වෙයි. නිව්ටන් ගේ තුන්වැනි නියමය යොදා ගැනීමෙන් කර්මය හා කර්ම විපාකය පෙන්නුම් කිරිම අදාළ පරාසයෙන් බාහිරව සංකල්ප හා නියම යොදාගැනීමකි.

බටහිර ගණිතයෙහි සීමාව පිළිබඳ සංකල්ප ප්‍රශ්නයක්‌ වන්නේ එය භෞතික විද්‍යාවේ හෝ වෙනත් විද්‍යාවක හෝ බටහිර ගණිතයෙහි ම වෙනත් ක්‍ෂෙත්‍රයක හෝ යෙදීමට යැමේ දී ය. බටහිර ගණිතයෙහි සීමාව අර්ථ දැක්‌වෙන්නේ යම් විචල්‍යයක්‌ යම් අගයක්‌ කරා එළඹෙන විට අදාළ ශ්‍රිතයෙහි අගය කුමන අගයක්‌ කරා එළඹෙන්නේ ද ආදී වශයෙනි. X විචල්‍යය දකුණෙන් මෙන් ම වමෙන් ද a කරා එළඹීමේ දී f(x) ශ්‍රීතය l කරා එළඹෙන්නේ නම් X විචල්‍යය a කරා එළඹීමේ දී f(x) ශ්‍රීතයෙහි සීමාව l යෑයි කියනු ලැබෙයි. බටහිර ගණිතයට මෙය අර්ථ දැක්‌වීමකි. අර්ථ දැක්‌වීමක්‌ ලෙස එහි ගැටලුවක්‌ ද නැත. මේ අර්ථ දැක්‌වීම උපයෝගී කරගෙන f(x) ශ්‍රීතයක අවකල සංගුණකය ද අර්ථ දැක්‌වෙයි. X = a හි දී ඒ අර්ථ දැක්‌වෙන්නේ X විචල්‍යය a සිට a +
da දක්‌වා වැඩි වීමෙහි දී f(x) හා X හි වර්ධනයන්හි අනුපාතය, එනම්
f(X +
d(X) - f(X)  හා dX හි අනුපාතය a හි දී dX ශූන්‍යය කරා එළඹීමෙහි දී එළඹෙන අගය, එනම් ඒ අනුපාතයෙහි සීමාව, ලෙස ය. X විචල්‍යය a කරා එළඹීමෙහි දී f(x)  ශ්‍රිතයෙහි අවකල සංගුණකය ලෙස පමණක්‌ ගැනීමෙහි දී මේ අර්ථ දැක්‌වීමෙහි තරමක ගැටලුවක්‌ ඇත. මෙහි da ශූන්‍යය කරා එළඹෙනු මිස d(a) ශූන්‍යය වන බවක්‌ නො කියෑවෙන බව අවධාරණය කළ යුතු ය. මෙහි දී ද තවත් කිව යුත්තක්‌ වෙයි. අවකල සංගුණකය පැවතීමට නම් දකුණෙන් මෙන් ම වමෙන් ද X විචල්‍යය a කරා එළඹීමෙහි දී අදාළ අනුපාතය එළඹෙන සීමා සමාන විය යුතු ය. ඒ සීමා අසමාන වන්නේ නම් හෝ සීමා නො පවතින්නේ නම් හෝ X = a දී ශ්‍රිතයෙහි අවකල සංගුණකය අර්ථ නො දැක්‌වෙයි.

ප්‍රශ්නය තවත් උග්‍ර වන්නේ බටහිර ගණිතයෙහි ම වක්‍රවලට අඳින ස්‌පර්ශක ගැන කතා කිරීමෙහි දී ය. y - f(x) යන්නෙහි වක්‍රය ගනිමු. අපි ශ්‍රිතය සංතතිකය යෑයි ද X = a හි දී ශ්‍රිතය අර්ථ දැක්‌වෙන්නේ යෑයි ද ගනිමු. දැන් අපට X = aහි දී වක්‍රයට අඳින ස්‌පර්ශකය දැනගැනීමට අවශ්‍ය වෙයි. එය ද ඉහත කී සීමාවෙන් ලැබෙන්නේ යෑයි අපට අර්ථ දැක්‌විය හැකි ය. අප මෙහි දී කියන්නේ අදාළ ස්‌පර්ශකයෙහි අනුක්‍රමණය X = a හි දී ශ්‍රිතයෙහි අවකල සංගුණකයට සමාන බව ය.

එහෙත් මෙහි ප්‍රශ්නයක්‌ වෙයි. X = a හි දී ශ්‍රිතයෙහි අවකල සංගුණකය යනු එකකි. ශ්‍රිතයෙන් නිරූපණය වන වක්‍රයට X = a හි දී ස්‌පර්ශකයක්‌ ඇඳීම යනු තවත් එකකි. අප එහි දී X = a හි දී වක්‍රයට ස්‌පර්ශකයක්‌ ඇඳිය යුතු ය. X = a හි දී ශ්‍රිතයෙහි අවකල සංගුණකය ඉහත සඳහන් අයුරින් අර්ථ දැක්‌ වුව ද අප එය දැනට පිළිගත්ත ද ස්‌පර්ශක සම්බන්ධයෙන් ගැටලුව විද්‍යමානව දැක්‌වෙයි. අප නිශ්චිතව ම X = a හි දී චක්‍රයට ස්‌පර්ශකයක්‌ ඇඳිය යුතු ය. එනම් මෙහි දී
da ශූන්‍යය විය යුතු ය. da ශූන්‍යය කරා එළඹෙන එහෙත් da ශූන්‍යය නො වන්නේ යෑයි කියන අර්ථ දැක්‌වීමකින් අප ස්‌පර්ශකය ලබා ගන්නේ කෙසේ ද?